Övertonerna uppkommer genom att grundsvängningen delas upp i hälfter, tredjedelar, fjärdedelar osv. Så här ser övertonserien ut:
 1       Grundton  (hela strängen, 1:a deltonen)
1/2     oktav'  (halva strängen, 2:a deltonen, 1:a övertonen)
1/3     kvint'  (1/3 av strängen, 3:dje deltonen, 2:a övertonen)
1/4     oktav''
1/5     stor ters''
1/6     kvint''
1/7     liten septima''
1/8     oktav''' (= prim''')
1/9     sekund'''
1/10   stor ters'''
1/11   kvart'''
1/12   kvint'''
1/13   sext'''
1/14   liten septima'''
1/15   stor septima'''
1/16   oktav''''
osv...

Upp till 13:te deltonen brukar man kunna få fram på en vanlig gitarr, sedan blir det för tätt mellan tonerna och de blir också för falska för att vara användbara. Som synes finns hela durskalan samt den lilla septiman med bland övertonerna. Eftersom det nästan alltid finns flera strängar på ett instrument, finns det ett rikt utbud av övertoner som bidrar till klangen (sustainen) när man spelar.

När Pythagoras för över 2500 år sedan härledde sin skala ur naturtonserien, kunde han varken dividera eller räkna med decimaler. Han hade inga sofistikerade elektroniska mätapparater. Det enda han kunde göra var att ställa upp förhållanden mellan heltal och det enkla instrument han använde var ett monokord, som bestod av en sträng med ett flyttbart stall. Han ställde upp följande förhållanden mellan intervallens frekvenser:

prim     sekund        ters       kvart      kvint        sext        septima      oktav
1/1          9/8         81/64      4/3         3/2        27/16      243/128      2/1

Man kan tycka att om man staplar lämpligt antal intervaller efter varandra, borde man komma till samma ton. T ex borde sex sekunder bli en oktav. Det blir de inte riktigt och det beror ju på att man på den tiden inte kunde räkna med decimaler. Sådana skillnader kallas för "komman". Att just tolv kvinter inte ger samma ton som sju oktaver, kallas för "Pythagoras komma".

Den rena skalan består av följande intervall:

prim       sekund      ters        kvart       kvint       sext     septima   oktav
 1/1          9/8          5/4         4/3         3/2         5/3        15/8       2/1

Heltalen visar, förutom förhållandet mellan frekvenserna, även de ingående tonernas gemen-
samma deltoner. När deltonerna inte svävar är intervallet rent. (Läs mer om rent här.)

När den rena skalan kom till hade musiken inte tonarter och harmonier på samma sätt som vi har idag. Stämföringen var också annorlunda. Musiken var i huvudsak vokal. Kyrkotonarterna var modala och bildades endast av den rena skalans sju toner. Varje tonarterna fick på det sättet olika karaktär (mode). Solamiserade ser kyrkotonarterna ut så här:

Den här skalan är alltså inte avsedd att transponera. Man hade ju bara sju toner i skalan!

Så här ser den rena kromatiska skalan ut:

Ungefär samtidigt som Columbus upptäckte Amerika (ca 1490), uppfann spanjoren Bartolomé Ramos de Pareja det likformiga temperamentet. Han förespråkade att dela in oktaven i tolv lika stora intervaller. Här finns inga komman. Man kan också uttrycka det som att det pythagoreiska kommat - och alla andra komman också - fördelas lika över alla intervallen så att endast oktaverna blir svävningsfria. Med det likformiga temperamentet skulle man kunna spela lika välljudande i alla tonarter.

Men det likformiga temperamentet hade nackdelar som det skulle ta 500 år att övervinna: 

• Man gjorde avkall på renheten, vilket var mycket kontroversiellt.

• Det var matematiskt komplicerat.

• Det var mycket svårt att åstadkomma i praktiken. Man kunde ju endast stämma med hjälp av örat genom att lyssna till svävningarnas hastighet. Eftersom svävningarnas hastighet har större inverkan på tonhöjden i basen än i diskanten, var det naturligtvis oerhört svårt att stämma till likformigt temperament med precision. På stränginstrument var det naturligtvis ännu svårare eftersom de är inharmoniska och det skulle dröja ända till modern tid innan man upptäckte det.

På 1600-talet anvisade Galeazzo Sabbatini en metod att åstadkomma likformigt temperament genom att först dela upp oktaven i tre tempererade stora terser.

Först kom medelton-temperamenten där det pythagoreiska kommat fördelades över alla kvinterna. Det vanligaste heter ¼-komma medelton, vilket betyder att varje kvint är trängre än rent med ¼ av hela kommat. När tolv kvinter justeras med ¼ komma, har man överkompenserat med 2 hela komman, så en kvint i skalan tilldelades hela överskottet och blev därigenom väldigt falsk. Den kallades för ”wolf” och  man försökte gömma undan den i något sällan använt intervall, vanligtvis runt giss.

Sedan kom väl-tempereringarna. De vanligaste är också ¼-komma temperament, men i stället för 12 tempererade kvinter, tempererar man bara fyra. Det betyder att 8 kvinter blir rena och stämningen blir enkel att sätta. Fyra stycken ¼-komma kvinter i rad resulterar alltid i en ren ters och vanligtvis placeras den rena tersen i tonarten C-dur. Effekten av en sådan stämning blir att terserna blir gradvis mer och mer falska då man frångår C-dur, men alla tonarterna är mer eller mindre användbara.

Med väl-temperering gick det att spela välljudande i alla tonarter, men fortfarande lät tonarterna olika. Man tillskrev därför tonarterna olika egenskaper, sinnesstämningar, färger och utnyttjade det i kompositionerna. Ofta började ett stycke i en harmonisk tonart med rena intervaller, för att sedan modulera till en mer dramatisk tonart och som avslutning återvända till den första, rofyllda tonarten. Generellt kan man säga om vältempereringarna att ju mildare "färg" de har, desto mer lika blir de det likformiga temperamentet.

Johan Sebastian Bach ivrade för att kunna spela välljudande i alla tonarter. Han visade, genom sina pianostyckern i Das Wohltemperierte Klavier (1722 och 1744), att det gick. De lärde tvistar om det var likformigt eller något annat temperament Bach avsåg. Helt nyligen lyckades man knäcka (vad man tror är) koden till det temperament som Bach använde*.

*[Varför skulle Bach hålla sitt temperament hemligt? Då kunde ju ingen annan spela hans stycken med avsedd verkan. Kanske var det ändå likformigt temperament han strävade efter?  Det hade ju trots allt varit känt i över 200 år och Bach var ju fackman. Men, det var som sagt mycket svårt att uppnå på den tiden. Se nedan.]

Uppenbarligen påskyndade Bach utvecklingen. Från mitten av 1700-talet började användningen av det  likformiga temperamentet ta fart. Att använda svävningarnas hastighet för att stämma till likformigt tempererat föreslogs 1749. Under andra hälften av 1800-talet blir det likformiga temperamentet normgivande. Enheten cent införs. Oktaven består av 1200 cent där varje halvton är 100 cent. Alla andra temperament definieras i fortsättningen genom att ange hur många cent varje ton avviker från det likformiga temperamentet.

Ännu bättre precision blev tillgänglig 1917 då White publicerade svävningstabeller med två decimaler - fast det förbättrade knappast precisionen i verkligheten. Fortfarande hade man flera svårigheter att övervinna. 

Det var fortfarande mycket svårt att mäta svävningarnas hastighet med precision, för även om de tolv halvtonerna skall vara lika stora (100 cent), skall ju inte intervallen sväva med samma hastighet*. För varje halvton man sänker ett intervall, skall svävningarnas hastighet minska, för att vara hälften så snabb när man kommit en oktav lägre ner. Det gör att för varje lägre oktav halveras precisionen p g a att tonernas frekvenser halveras. När svävningarna blir för långsamma, måste pianostämmarna lyssna till de gemensamma övertonernas oktaver, vilka är ännu mer inharmoniska. Inharmoniciteten är inte konstant, utan varierar över pianots register, den är generellt större i basen och diskanten än i mellanregistret, men den varierar också i olika stränggrupper. Likaså varierar inharmoniciteten på olika pianon.  Fast, vid den här tiden var troligen inharmoniciteten ännu ett okänt fenomen.

Allt talar för att det likformiga temperamentet var ett ganska vagt begrepp innan de elektroniska hjälpmedlen kom för bara några decennier sedan. 

* [Det likformiga temperamentet kallas även för "liksvävande". Jag undrar varför?]

1943 var Schuck & Young var de första att mäta inharmonicitet hos pianosträngar.

Noggranna stämmapparater baserade på stroboskop kom på 1970-talet.

Numera finns sofistikerade elektroniska stämmaparater som gör det möjligt att stämma med en aldrig tidigare uppnådd precision.

När man gör en sådan här sammanställning, ser man hur de andra skalorna och temperamenten kommit till korta vartefter musiken har utvecklats. Det likformiga temperamentet är så precist avvägt att det inte låter oacceptabelt falskt i någon musikalisk situation. Tack vare det har harmoniken utvecklats och nya musikformer utvecklats som t ex jazz, polyfoni och atonal musik. Det tycker jag inte är någon kompromiss, utan bara ett naturligt steg i utvecklingen.

De som spelar instrument utan fasta tonlägen* har faktiskt möjlighet att nästan uppnå idealet.
Se nedan.

*[Instrument med greppband, tangenter osv, har fasta tonlägen.]

Rena intervall verkar trots allt vara det som lyssnaren upplever som behagligast. I den kromatiska, rena skalan är dock endast 50 % av intervallen rena (mer om detta här). Om t ex skalan är i C-dur låter alla C-durackord perfekt, men så fort man tar något annat ackord tillkommer orenheter. Därför kom den rena skalan till korta.

De historiska temperamenten får man nog, i ljuset av denna sammanställning, betrakta som inte helt lyckade försök att uppnå det likformiga temperamentet.

Teoretiskt kan instrument som inte har fasta tonlägen (t ex den mänskliga rösten, stråk-
instrument, bandlösa knäppinstrument, slidewhistle och hawaiigitarr...) spela rena klanger hela tiden*. Det händer ibland i verkligheten, men sällan. Vad som då sker är att skickliga musiker hela tiden justerar tonerna gentemot varandra så att rena samklanger uppstår. De kan då inte spela en fixerad skala, utan de spelar en "flytande skala" där varje ton hela tiden justeras gentemot de andra tonerna i samklangen.

Utvecklingen har kommit så långt att man numera med elektronikens hjälp kan korrigera falsksång i realtid. Det dröjer säkert inte länge innan vi får elektroniska instrument som kan spela helt rent i alla tonarter!

Jag är inte säker på att jag personligen ser fram mot den utvecklingen. Musik skall vara levande.

*[Här måste jag genast påpeka att dessa intervall, p g a inharmoniciteten, på stränginstrument inte blir helt rena enligt definitionerna. Antingen får de korrekt tonhöjd enligt rena skalan, eller också blir de svävningsfria. Vilket som inträffar när musiker och sångare intonerar efter varandra vet jag inte.]